Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
. O conteúdo aqui é análise de convexidade/concavidade usando a matriz Hessiana, pois estamos lidando com uma função de
em
.
Passo 2
Para saber se
é côncava ou convexa, usamos o teste da segunda derivada: calculamos a matriz Hessiana
cujos elementos são
. Se
for definida negativa,
é côncava; se
for definida positiva,
é convexa.
Passo 3
Vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
Agora, as segundas derivadas:
Daí a Hessiana é
Passo 4
Os autovalores de
são as entradas da diagonal, ambos iguais a
, que são negativas. Logo,
é definida negativa (estritamente), e por isso
é estritamente côncava em
.
Resposta
A função
é estritamente côncava.