Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
U(q1, q2)=-q1^2-q2^2

Passo 1

Temos a função de duas variáveis U(q1,q2)=-q1^2-q2^2. O conteúdo aqui é análise de convexidade/concavidade usando a matriz Hessiana, pois estamos lidando com uma função de R^2 em R.

Passo 2

Para saber se U é côncava ou convexa, usamos o teste da segunda derivada: calculamos a matriz Hessiana H cujos elementos são Hij=partial^2U/partial qipartial qj. Se H for definida negativa, U é côncava; se H for definida positiva, U é convexa.

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
partial Upartial q1=-2q1, partial Upartial q2=-2q2
Agora, as segundas derivadas:
partial^2 Upartial q1^2=-2, partial^2 Upartial q2^2=-2, partial^2 Upartial q1partial q2=0
Daí a Hessiana é
H=-2 & 00 & -2

Passo 4

Os autovalores de H são as entradas da diagonal, ambos iguais a -2, que são negativas. Logo, H é definida negativa (estritamente), e por isso U é estritamente côncava em R^2.

Resposta

A função U(q1,q2)=-q1^2-q2^2 é estritamente côncava.

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