Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo:
; restrição:
função objetivo:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a otimização condicionada de minimizar (ou maximizar) a função objetivo z=x₁²+x₂² sujeita à restrição linear x₁+4x₂=2. O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange e a utilização do Hessiano para classificação de extremo.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana
e escrevemos as condições de primeira ordem (gradiente nulo):
Passo 3
Resolvendo o sistema:
- Da primeira: x₁=λ/2
- Da segunda: x₂=2λ
- Substituindo na restrição: (λ/2)+4(2λ)=2 ⇒ (1/2+8)λ=2 ⇒ (17/2)λ=2 ⇒ λ=4/17
Logo x₁=λ/2=2/17 e x₂=2λ=8/17.
Passo 4
Para classificar o extremo, calculamos o Hessiano da parte em x da Lagrangiana (que coincide com o Hessiano de f):
A restrição linear gera o espaço tangente definido por d=(d₁,d₂) tal que d₁+4d₂=0. Tomando d₁=-4d₂, temos
Isso mostra que é mínimo condicionado.
Passo 5
Como f é convexa (H positivo definido), esse mínimo condicionado é também global. Não há máximo condicionado porque f cresce indefinidamente ao longo da reta da restrição.
Resposta
O ponto crítico é (x₁,x₂)=(2/17,8/17), que corresponde a um mínimo condicionado (e global). Não existe máximo condicionado.