Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo: z=x1^2+x2^2; restrição: x1+4 x2=2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a otimização condicionada de minimizar (ou maximizar) a função objetivo z=x₁²+x₂² sujeita à restrição linear x₁+4x₂=2. O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange e a utilização do Hessiano para classificação de extremo.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana
L(x₁,x₂,λ)=x₁^2+x₂^2-λl(x₁+4x₂-2r)
e escrevemos as condições de primeira ordem (gradiente nulo):
∂L/∂x₁=2x₁-λ=0 ∂L/∂x₂=2x₂-4λ=0 ∂L/∂λ=-(x₁+4x₂-2)=0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira: x₁=λ/2
  • Da segunda: x₂=2λ
  • Substituindo na restrição: (λ/2)+4(2λ)=2 ⇒ (1/2+8)λ=2 ⇒ (17/2)λ=2 ⇒ λ=4/17
    Logo x₁=λ/2=2/17 e x₂=2λ=8/17.

Passo 4

Para classificar o extremo, calculamos o Hessiano da parte em x da Lagrangiana (que coincide com o Hessiano de f):
H=2 & 00 & 2
A restrição linear gera o espaço tangente definido por d=(d₁,d₂) tal que d₁+4d₂=0. Tomando d₁=-4d₂, temos
d^T H d=2d₁^2+2d₂^2=2(16d₂^2)+2d₂^2=34d₂^2>0 (forall d≠0)
Isso mostra que é mínimo condicionado.

Passo 5

Como f é convexa (H positivo definido), esse mínimo condicionado é também global. Não há máximo condicionado porque f cresce indefinidamente ao longo da reta da restrição.

Resposta

O ponto crítico é (x₁,x₂)=(2/17,8/17), que corresponde a um mínimo condicionado (e global). Não existe máximo condicionado.

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