Determine se as funções abaixo são pares ou impares
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é par ou ímpar.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - A pergunta é apenas: classificar a função quanto à paridade (par, ímpar ou nenhuma das duas).
Passo 2
Definições fundamentais (essas são as ferramentas que vamos usar):
- Uma função
é par se, e somente se, valer para todo do domínio que
- Uma função
é ímpar se, e somente se, valer para todo do domínio que
Observação prática: se demonstrarmos que
para todo
, então
é par. Se demonstrarmos que
para todo
, então
é ímpar. Se nenhuma das duas igualdades vale para todo
, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 3
Analisar cada termo de
separadamente — isto facilita porque a paridade de somas costuma seguir da paridade dos termos:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Passo 4
Verificar
. Calcular
:
Portanto
satisfaz
, ou seja,
é uma função par.
Passo 5
Verificar
. Usar a propriedade trigonométrica conhecida:
para todo
. Logo
é função par.
Passo 6
Verificar
. Pela definição do valor absoluto:
para todo
. Assim
é função par.
Passo 7
Somando as conclusões: cada um dos três termos de
é par. A soma de funções pares é sempre uma função par, porque, para todo
,
Portanto
para todo
do domínio.
Passo 8
Verificação rápida de que não é ímpar (apenas para confirmar a conclusão): se
fosse ímpar teríamos
. Mas já temos
; as duas igualdades só podem ocorrer simultaneamente para todo
se
. Como, por exemplo,
, não é a função zero, logo não é ímpar.
Resposta
par