Determine se as funções abaixo são pares ou impares
f(x)=x^{4}+\cos x+|x|

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função f(x)=x^{4}+\cos x+|x| é par ou ímpar.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente f(x)=x^{4}+\cos x+|x|.
  • A pergunta é apenas: classificar a função quanto à paridade (par, ímpar ou nenhuma das duas).

Passo 2

Definições fundamentais (essas são as ferramentas que vamos usar):
  • Uma função g é par se, e somente se, valer para todo x do domínio que
g(-x)=g(x).
  • Uma função g é ímpar se, e somente se, valer para todo x do domínio que
g(-x)=-g(x).
Observação prática: se demonstrarmos que f(-x)=f(x) para todo x, então f é par. Se demonstrarmos que f(-x)=-f(x) para todo x, então f é ímpar. Se nenhuma das duas igualdades vale para todo x, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Analisar cada termo de f(x) separadamente — isto facilita porque a paridade de somas costuma seguir da paridade dos termos:
  • Primeiro termo: \,x^{4}\,.
  • Segundo termo: \,\cos x\,.
  • Terceiro termo: \,|x|\,.

Passo 4

Verificar \,x^{4}\,. Calcular \,(-x)^{4}\,:
(-x)^{4}=(-1)^{4}x^{4}=1\cdot x^{4}=x^{4}.
Portanto \,x^{4}\, satisfaz \,(-x)^{4}=x^{4}\,, ou seja, \,x^{4}\, é uma função par.

Passo 5

Verificar \,\cos x\,. Usar a propriedade trigonométrica conhecida:
\cos(-x)=\cos x
para todo x. Logo \,\cos x\, é função par.

Passo 6

Verificar \,|x|\,. Pela definição do valor absoluto:
|-x|=|x|
para todo x. Assim |x| é função par.

Passo 7

Somando as conclusões: cada um dos três termos de f é par. A soma de funções pares é sempre uma função par, porque, para todo x,
f(-x)=(-x)^{4}+\cos(-x)+|-x|=x^{4}+\cos x+|x|=f(x).
Portanto \,f(-x)=f(x) para todo x do domínio.

Passo 8

Verificação rápida de que não é ímpar (apenas para confirmar a conclusão): se f fosse ímpar teríamos f(-x)=-f(x). Mas já temos f(-x)=f(x); as duas igualdades só podem ocorrer simultaneamente para todo x se f(x)\equiv0. Como, por exemplo, f(1)=1^{4}+\cos 1+|1|=1+\cos 1+1>0, não é a função zero, logo não é ímpar.

Resposta

par

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