Determine o domínio de f(x) quando
f(x)=e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x^{2}} e pede para determinar o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é e^{x^{2}}.
  • A variável é x (valores que x pode assumir é o que queremos descobrir).

Passo 2

O que é “domínio” de uma função?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida) e produz um valor real (quando estamos trabalhando com funções reais). Em bom português: são todos os x que posso colocar na fórmula sem dar problema.

Passo 3

Analisar as partes da expressão e^{x^{2}}. Ela é a composição de duas coisas:
  • a função quadrado: x\mapsto x^{2};
  • a função exponencial: t\mapsto e^{t}, onde t é o argumento.
Verificar domínio de cada parte:
  • A função x\mapsto x^{2} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há restrição em tomar o quadrado de um número real.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Não existe valor real de t que torne e^{t} indefinido.

Passo 4

Como x^{2} é definido para todos os reais e e^{t} aceita qualquer real como entrada, a composição x\mapsto e^{x^{2}} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há nenhuma restrição (como divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo etc.) neste caso.

Passo 5

Observações úteis para a prova (pequena reforçada didática):
  • Exemplos de valores: f(0)=e^{0}=1, f(2)=e^{4}, f(-3)=e^{9}. Note que f(-x)=f(x) porque x^{2} é par; isto significa que f é uma função par — informação bônus que às vezes cai em prova.
  • Notações equivalentes para o domínio: \mathbb{R} ou (-\infty,\infty).

Resposta

\mathbb{R}

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