Determine quais das funções f abaixo são pares ou ímpares (justificando a sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-exemplo.
  • f(x)=x^2sen(x)
  • f(x)=x^l com l impar
  • f(x)=x^2(x^4-1)
  • f(x)=x+1
  • f(x)=sen(sen(x))
  • f(x)=sen(cos (x))

Passo 1

O enunciado pede pra determinar se cada função é par (f(−x)=f(x)), ímpar (f(−x)=−f(x)) ou nenhuma das duas, usando as propriedades de simetria e, quando for nenhuma, dar um contra-exemplo.

Passo 2

Definimos: uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x no domínio, e ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x no domínio.

Passo 3

Para f(x)=dfracx^2sin x: como x^2 é par e sin x é ímpar ( sin(-x)=-sin x), temos
f(-x)=(-x)^2sin(-x)=x^2-sin x=-x^2sin x=-f(x)
Logo é ímpar.

Passo 4

Para f(x)=x^l com l ímpar: basta usar (-x)^l=-x^l, então
f(-x)=(-x)^l=-x^l=-f(x),
logo é função ímpar.

Passo 5

Para f(x)=dfracx^2x^4-1: note que x^2 e x^4-1 são pares, pois (-x)^2=x^2 e (-x)^4-1=x^4-1. Assim
f(-x)=x^2x^4-1=f(x),
portanto é par.

Passo 6

Para f(x)=x+1:
f(-x)=-x+1,
que nem é igual a x+1 nem a -(x+1)=-x-1. Por exemplo, em x=1 temos f(1)=2 e f(-1)=0, logo não é par nem ímpar.

Passo 7

Para f(x)=sin(sin x): como sin x é ímpar, temos
f(-x)=sin(sin(-x))=sin(-sin x)=-sin(sin x)=-f(x),
então é ímpar.

Passo 8

Para f(x)=sin(cos x): como cos x é par ( cos(-x)=cos x), segue
f(-x)=sin(cos(-x))=sin(cos x)=f(x),
logo é par.

Resposta

Funções pares: dfracx^2x^4-1 e sin(cos x). Funções ímpares: dfracx^2sin x, x^l (com l ímpar) e sin(sin x). Nem par nem ímpar: x+1 (por exemplo, em x=1, f(1)=2 e f(-1)=0).

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