Como fx(a, b) e fy(a, b) podem ser interpretadas geometricamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: Como $ f_{x}(a, b) $ e $ f_{y}(a, b) $ podem ser interpretadas geometricamente?. Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas se relacionam com a geometria de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Se você tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $, que é $ f_{x}(a, b) $, mede como $ f $ muda quando apenas $ x $ varia, mantendo $ y $ constante em $ b $. Similarmente, $ f_{y}(a, b) $ mede a mudança de $ f $ quando apenas $ y $ varia, mantendo $ x $ constante em $ a $.

Passo 3

Agora, pensando geometricamente, imagine o gráfico de $ f(x, y) $ como uma superfície no espaço tridimensional. O ponto $ (a, b, f(a, b)) $ está nessa superfície. A derivada parcial $ f_{x}(a, b) $ representa a inclinação da superfície na direção do eixo $ x $, ou seja, é a inclinação da reta tangente à curva resultante quando você faz uma “corte” na superfície mantendo $ y = b $. Da mesma forma, $ f_{y}(a, b) $ é a inclinação na direção do eixo $ y $.

Passo 4

Para visualizar isso, pense em andar na superfície: $ f_{x}(a, b) $ te diz o quanto você vai subir ou descer se você andar na direção de $ x $, mantendo $ y $ fixo. Já $ f_{y}(a, b) $ te informa sobre a subida ou descida na direção de $ y $, mantendo $ x $ fixo. Essas inclinações são essenciais para entender como a superfície está “inclinada” em cada direção.

Resposta

Geometricamente, as derivadas parciais $ f_{x}(a, b) $ e $ f_{y}(a, b) $ representam as inclinações das retas tangentes à superfície de $ f(x, y) $ nas direções dos eixos $ x $ e $ y $, respectivamente, no ponto $ (a, b) $.

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