O enunciado pede para resolver quatro inequações envolvendo valor absoluto, tema típico de inequações com módulo. Vamos precisar usar a definição de módulo e as propriedades: 1) lvert Arvert>=0 vale sempre; 2) lvert Arvert>0 equivale a Aneq0; 3) para lvert Ervert com c>0, escreve-se -c; 4) ao resolver inequações com módulo é comum analisar casos em que o argumento muda de sinal.
Passo 2
Para lvert x+27rvert>=0 sabemos que o módulo é sempre não negativo, logo essa desigualdade é sempre verdadeira para qualquer x. Para lvert 2x+3rvert>0, o módulo só é zero quando o argumento é zero, então 2x+3neq0 e xneq-tfrac32. Assim, as soluções são: lvert x+27rvert>=0: R lvert 2x+3rvert>0: Rsetminus-tfrac32
Passo 3
Para lvert x^2-1rvert<1 aplicamos a definição de desigualdade dupla:
-1
Somando 1 a todas as partes:
0
Isso equivale a x^2>0 (ou seja xneq0) e x^2<2 (ou seja -raiz2). Unindo as duas condições, a solução é
Passo 4
Para x>2lvert x-2rvert dividimos em casos:
Caso 1: x-2>=0 (ou x>=2). A desigualdade vira:
x>2(x-2)implies x>2x-4implies -x>-4implies x<4
Combinando com x>=2, obtemos 2<= x<4.
Caso 2: x-2<0 (ou x<2). A desigualdade fica: