Determine as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)) e os valores de x (se existirem) para os quais f(g(x))=g(f(x)).
f(x)=raizx ; g(x)=1-3 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as funções compostas f∘g e g∘f das funções f(x)=\sqrt{x} e g(x)=1-3x, e depois achar os valores de x que satisfazem f(g(x))=g(f(x)). Vamos usar composição de funções e resolver a equação com cuidado no domínio.

Passo 2

Calcular f(g(x)). Aplicando f sobre g(x) temos
f(g(x))=raizg(x)=raiz1-3x
pois f(u)=\sqrt{u} e aqui u=g(x)=1-3x.

Passo 3

Calcular g(f(x)). Aplicando g sobre f(x) temos
g(f(x))=1-3,f(x)=1-3raizx
pois g(v)=1-3v e aqui v=f(x)=\sqrt{x}.

Passo 4

Determinar o domínio comum onde as duas composições estão definidas. Para f(g(x)) precisamos de 1-3x\ge0, ou seja x\le1/3. Para g(f(x)) basta x\ge0 (pois sqrt(x) já exige x\ge0). Logo o domínio de interesse é 0\le x\le1/3.

Passo 5

Resolver a equação
raiz1-3x=1-3raizx
no intervalo [0,1/3]. Como o lado esquerdo é não negativo, exigimos também 1-3\sqrt{x}\ge0 ⇒ \sqrt{x}\le1/3 ⇒ x\le1/9. Para resolver, faça a substituição y=\sqrt{x} (y\ge0), ficando x=y^2 e a equação
raiz1-3y^2=1-3y

Passo 6

Elevar ambos os lados ao quadrado (lembrando de checar soluções depois):
1-3y^2=(1-3y)^2=1-6y+9y^2
Reorganizando:
1-3y^2-1+6y-9y^2=0 ⇒ -12y^2+6y=0 ⇒ 6y(1-2y)=0
Assim y=0 ou y=1/2.

Passo 7

Verificar no domínio y\in[0,1/3]: y=0 é válido, y=1/2>1/3 é rejeitado. Portanto y=0 ⇒ x=y^2=0 é a única solução.

Passo 8

Concluindo, as funções compostas são f(g(x))=\sqrt{1-3x} e g(f(x))=1-3\sqrt{x}, e a igualdade f(g(x))=g(f(x)) ocorre somente em x=0.

Resposta

As funções compostas são f(g(x))=\sqrt{1-3x} e g(f(x))=1-3\sqrt{x}. A igualdade f(g(x))=g(f(x)) ocorre apenas para x=0.

Exercícios relacionados