Determine as funções compostas
e
e os valores de
(se existirem) para os quais
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as funções compostas f∘g e g∘f das funções f(x)=\sqrt{x} e g(x)=1-3x, e depois achar os valores de x que satisfazem f(g(x))=g(f(x)). Vamos usar composição de funções e resolver a equação com cuidado no domínio.
Passo 2
Calcular f(g(x)). Aplicando f sobre g(x) temos
pois f(u)=\sqrt{u} e aqui u=g(x)=1-3x.
Passo 3
Calcular g(f(x)). Aplicando g sobre f(x) temos
pois g(v)=1-3v e aqui v=f(x)=\sqrt{x}.
Passo 4
Determinar o domínio comum onde as duas composições estão definidas. Para f(g(x)) precisamos de 1-3x\ge0, ou seja x\le1/3. Para g(f(x)) basta x\ge0 (pois sqrt(x) já exige x\ge0). Logo o domínio de interesse é 0\le x\le1/3.
Passo 5
Resolver a equação
no intervalo [0,1/3]. Como o lado esquerdo é não negativo, exigimos também 1-3\sqrt{x}\ge0 ⇒ \sqrt{x}\le1/3 ⇒ x\le1/9. Para resolver, faça a substituição y=\sqrt{x} (y\ge0), ficando x=y^2 e a equação
Passo 6
Elevar ambos os lados ao quadrado (lembrando de checar soluções depois):
Reorganizando:
Assim y=0 ou y=1/2.
Passo 7
Verificar no domínio y\in[0,1/3]: y=0 é válido, y=1/2>1/3 é rejeitado. Portanto y=0 ⇒ x=y^2=0 é a única solução.
Passo 8
Concluindo, as funções compostas são f(g(x))=\sqrt{1-3x} e g(f(x))=1-3\sqrt{x}, e a igualdade f(g(x))=g(f(x)) ocorre somente em x=0.
Resposta
As funções compostas são f(g(x))=\sqrt{1-3x} e g(f(x))=1-3\sqrt{x}. A igualdade f(g(x))=g(f(x)) ocorre apenas para x=0.