Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada.
\frac{d y}{d x}=y^{2}+2 x y+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções constantes y(x)=C que satisfaçam a equação diferencial
\frac{dy}{dx} \;=\; y^{2} \;+\; 2\,x\,y \;+\;1.
O conteúdo é ODE de 1ª ordem, e para funções constantes usamos a condição \tfrac{dy}{dx}=0.

Passo 2

Assuma y(x)=C com C constante. Então
\frac{dy}{dx}=0
e a equação impõe
0 = C^{2} + 2\,x\,C + 1
para todo x.

Passo 3

A expressão C^{2}+2xC+1 deve ser identicamente zero em x. Logo, o coeficiente de x deve valer zero:
2\,C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = 0.

Passo 4

Além disso, o termo independente em x deve também ser zero:
C^{2} + 1 = 0.
Substituindo C=0 0^{2}+1=1\neq0, o que é impossível.

Resposta

Não existe função constante real que seja solução da equação diferencial dada.

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