Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo (-infty, infty)
f1(x)=cos (2 x), f2(x)=1 e f3(x)=cos ^2(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo (-infty, infty). As funções em questão são:
f1(x) = cos(2x), f2(x) = 1, f3(x) = cos^2(x)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear de funções e calcular o Wronskiano, que nos ajudará a verificar a dependência ou independência dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente ou dependente. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das funções. O Wronskiano é um determinante formado pelas funções e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano das funções f1(x), f2(x) e f3(x). Primeiro, precisamos encontrar as derivadas dessas funções.
Primeira derivada:
f1'(x) = ddx cos(2x) = -2sin(2x)
f2'(x) = ddx 1 = 0
f3'(x) = ddx cos^2(x) = -2cos(x)sin(x)
Segunda derivada:
f1''(x) = ddx (-2sin(2x)) = -4cos(2x)
f2''(x) = ddx 0 = 0
f3''(x) = ddx (-2cos(x)sin(x)) = -2[cos^2(x) - sin^2(x)]

Passo 5

Agora, montamos o Wronskiano:
W(x) = f1(x) & f2(x) & f3(x) f1'(x) & f2'(x) & f3'(x) f1''(x) & f2''(x) & f3''(x)
Substituindo as funções e suas derivadas:
W(x) = cos(2x) & 1 & cos^2(x) -2sin(2x) & 0 & -2cos(x)sin(x) -4cos(2x) & 0 & -2[cos^2(x) - sin^2(x)]

Passo 6

Calculando o determinante:
W(x) = cos(2x) cdot 0 & -2cos(x)sin(x) 0 & -2[cos^2(x) - sin^2(x)] - 1 cdot -2sin(2x) & -2cos(x)sin(x) -4cos(2x) & -2[cos^2(x) - sin^2(x)] + cos^2(x) cdot -2sin(2x) & 0 -4cos(2x) & 0
Simplificando cada determinante menor:
W(x) = cos(2x) cdot (0 - 0) - 1 cdot [ (-2sin(2x)) cdot (-2[cos^2(x) - sin^2(x)]) - (-2cos(x)sin(x)) cdot (-4cos(2x)) ] + cos^2(x) cdot (0 - 0)
W(x) = 0 - 1 cdot [ 4sin(2x)[cos^2(x) - sin^2(x)] - 8cos(x)sin(x)cos(2x) ] + 0
W(x) = - [ 4sin(2x)[cos^2(x) - sin^2(x)] - 8cos(x)sin(x)cos(2x) ]

Passo 7

Simplificando ainda mais:
Sabemos que sin(2x) = 2sin(x)cos(x) e cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), então:
W(x) = - [ 4 cdot 2sin(x)cos(x) cdot cos(2x) - 8cos(x)sin(x)cos(2x) ]
W(x) = - [ 8sin(x)cos(x)cos(2x) - 8sin(x)cos(x)cos(2x) ]
W(x) = - (0) = 0

Resposta

Como o Wronskiano W(x) = 0 para todo x no intervalo (-infty, infty), as funções f1(x) = cos(2x), f2(x) = 1 e f3(x) = cos^2(x) são linearmente dependentes nesse intervalo.

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