Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo e
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . As funções em questão são:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear de funções e calcular o Wronskiano, que nos ajudará a verificar a dependência ou independência dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente ou dependente. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Caso contrário, são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das funções. O Wronskiano é um determinante formado pelas funções e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano das funções , e . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas dessas funções.
Como o Wronskiano W(x) = 0 para todo x no intervalo (-infty, infty), as funções f1(x) = cos(2x), f2(x) = 1 e f3(x) = cos^2(x) são linearmente dependentes nesse intervalo.