Onde cada função abaixo é descontínua? Justifique sua resposta.
f(x)=ll1x^-2, & x neq 2 ; 3, & x=2

Passo 1

Temos uma função definida por partes: f(x) = 1/x^-2 para x neq 2 e f(2)=3. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, e vamos precisar usar o conceito de limite e a definição de continuidade num ponto.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão 1/x^-2. Note que
1x^-2 = 11/x^2 = x^2
Logo, para x neq 2 temos f(x)=x^2.

Passo 3

Agora, determinamos o domínio de f: para escrever 1/x^-2 faz sentido só quando x^-2 está definido, isto é, xneq 0. Além disso, o enunciado define f(2)=3. Portanto o domínio efetivo é Rsetminus0.

Passo 4

Verificamos a continuidade em pontos xneq 2: como f(x)=x^2 nesse caso e polinômios são contínuos em todo o domínio, f é contínua em cada ponto xneq 2.

Passo 5

Verificamos a continuidade em x=2 usando limite:
limxto2f(x)=limxto2x^2=4
Mas f(2)=3, e como o limite não coincide com o valor da função, há descontinuidade em x=2.

Resposta

A função é descontínua apenas em x=2.

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