Determine as funções derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) sendo
ccx+4 y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo envolve: (i) aplicação da regra do quociente para ,(x,y)\neq(0,0), e (ii) uso da definição de derivada parcial no ponto ,(0,0).

Passo 2

Para ,(x,y)\neq(0,0)\ aplicamos a regra do quociente. Seja ,g(x,y)=x+4y^3\ e ,h(x,y)=x2+y2. Então ,\partial g/\partial x=1\ e ,\partial h/\partial x=2x. Assim:
Para ,(x,y)\neq(0,0)\ temos
partial fpartial x(x,y) =1cdot(x^2+y^2)-(x+4y^3)cdot2x(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2-8xy^3(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para ,(x,y)\neq(0,0)\ aplicamos de novo a regra do quociente no sentido y. Agora ,\partial g/\partial y=12y^2\ e ,\partial h/\partial y=2y. Logo:
partial fpartial y(x,y) =12y^2,(x^2+y^2)-(x+4y^3),2y(x^2+y^2)^2 =12x^2y^2+4y^4-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto ,(0,0)\ usamos a definição de derivada parcial. Para x:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto01/h-0h=limhto01h^2,
que diverge, logo não existe. Para y:
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-0h =limhto04hh=4

Resposta

partial fpartial x(x,y)=-x^2+y^2-8xy^3(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y)=12x^2y^2+4y^4-2xy(x^2+y^2)^2 para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x(0,0) não existe, partial fpartial y(0,0)=4 ã

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