Determine as funções derivadas parciais
e
sendo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis definida por partes. O conteúdo envolve: (i) aplicação da regra do quociente para ,(x,y)\neq(0,0), e (ii) uso da definição de derivada parcial no ponto ,(0,0).
Passo 2
Para ,(x,y)\neq(0,0)\ aplicamos a regra do quociente. Seja ,g(x,y)=x+4y^3\ e ,h(x,y)=x2+y2. Então ,\partial g/\partial x=1\ e ,\partial h/\partial x=2x. Assim:
Para ,(x,y)\neq(0,0)\ temos
Para ,(x,y)\neq(0,0)\ temos
Passo 3
Para ,(x,y)\neq(0,0)\ aplicamos de novo a regra do quociente no sentido y. Agora ,\partial g/\partial y=12y^2\ e ,\partial h/\partial y=2y. Logo:
Passo 4
No ponto ,(0,0)\ usamos a definição de derivada parcial. Para x:
que diverge, logo não existe. Para y: