Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
f(x, y)=5 x^2+6 x y+e^2 x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = 5x^{2} + 6xy + e^{2x + y} $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando trabalhamos com funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar cada termo da função em relação a $ x $ e a $ y $ separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos a função apenas em relação a $ x $.
Vamos derivar cada termo:
  1. $ 5x^{2} $: A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $, então:
    f
  2. $ 6xy $: Aqui, $ y $ é uma constante. A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, então:
    x
  3. $ e^{2x + y} $: A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Aqui, $ u = 2x + y $, então:
    partial fpartial x
Agora, somando todas as derivadas parciais:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos a função apenas em relação a $ y $.
Vamos derivar cada termo:
  1. $ 5x^{2} $: Como não tem $ y $ aqui, a derivada é 0:
    f
  2. $ 6xy $: Agora, $ x $ é uma constante. A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1, então:
    y
  3. $ e^{2x + y} $: Similar ao que fizemos antes, a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ y $ é $ e^{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $. Aqui, $ u = 2x + y $, então:
    partial fpartial y
Somando todas as derivadas parciais:
x

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = 5x^{2} + 6xy + e^{2x + y} $ são:
f(x, y) = 5x^2 + 6xy + e^2x + y
partial fpartial x = 10x + 6y + 2e^2x + y

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