Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.
f(x)=lll x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & se & 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em três partes e pede para achar os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte. O conteúdo é continuidade de função por partes: precisamos garantir que, nos pontos de quebra x=2 e x=3, os limites laterais coincidam com o valor da função.

Passo 2

Para x<2 temos a parte f(x)=x^2-4x-2. Usando fatoração de diferença de quadrados,
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2, xneq2
Logo o limite à esquerda em x=2 é
limxto2^-f(x)=2+2=4
No intervalo 2<= x<3 vale f(x)=ax^2-bx+3, então o valor da função em x=2 é
f(2)=4a-2b+3
Para continuar contínua em x=2, precisamos de
4a-2b+3=4
que simplifica para
4a-2b=1.

Passo 3

Agora em x=3, o limite pela esquerda é
limxto3^-f(x)=9a-3b+3,
e pelo lado direito, onde f(x)=2x-a+b, temos
limxto3^+f(x)=6-a+b
Igualando para continuidade em x=3:
9a-3b+3=6-a+b
que dá
10a-4b=3

Passo 4

Resolvendo o sistema
4a-2b=1 10a-4b=3
podemos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair das duas para eliminar b, chegando em a=tfrac12, e em seguida b=tfrac12.

Resposta

a=\tfrac12 e b=\tfrac12

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