Encontre os valores de e que tornam contínua em toda parte.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida em três partes e pede para achar os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte. O conteúdo é continuidade de função por partes: precisamos garantir que, nos pontos de quebra x=2 e x=3, os limites laterais coincidam com o valor da função.
Passo 2
Para x<2 temos a parte f(x)=x^2-4x-2. Usando fatoração de diferença de quadrados,
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2, xneq2
Logo o limite à esquerda em x=2 é limxto2^-f(x)=2+2=4
No intervalo 2<= x<3 vale f(x)=ax^2-bx+3, então o valor da função em x=2 é
f(2)=4a-2b+3
Para continuar contínua em x=2, precisamos de
4a-2b+3=4
que simplifica para
4a-2b=1.
Passo 3
Agora em x=3, o limite pela esquerda é
limxto3^-f(x)=9a-3b+3,
e pelo lado direito, onde f(x)=2x-a+b, temos limxto3^+f(x)=6-a+b
Igualando para continuidade em x=3:
9a-3b+3=6-a+b
que dá
10a-4b=3
Passo 4
Resolvendo o sistema
4a-2b=1 10a-4b=3
podemos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair das duas para eliminar b, chegando em a=tfrac12, e em seguida b=tfrac12.