Sejam f e g definidas por
f(x)=c x^2-4 x+3 , se x >= 2 2 x-3, se x<2 , g(x)=2 x+3
Obtenha a lei de formação das funções (f circ g) e (g circ f).
Resp: (f circ g)(x)=c 4 x^2+4 x, se x >=-12 4 x+3 , se x<-12 ;(g circ f)(x)=r 2 x^2-8 x+9 , se x >= 2 4 x-3, se x<2

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)= x^2-4x+3,&x>=2, 2x-3,&x<2,
e
g(x)=2x+3
O conteúdo é composição de funções: vamos achar (fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x)), respeitando as partes definidas por pedaços de f.

Passo 2

Para (fcirc g)(x)=f(g(x)), primeiro analisamos em qual ramo de f entra o valor g(x)=2x+3. A condição g(x)>=2 vira
2x+3>=2implies x>= -tfrac12,
e g(x)<2 vira x< -tfrac12. Logo temos duas situações:
  • Se x>= -tfrac12, usamos f(u)=u^2-4u+3 com u=2x+3.
  • Se x< -tfrac12, usamos f(u)=2u-3 com u=2x+3.

Passo 3

Agora simplificamos cada expressão de (fcirc g)(x):
  • Para x>= -tfrac12:
f(g(x))=(2x+3)^2-4(2x+3)+3=4x^2+12x+9-8x-12+3=4x^2+4x
  • Para x< -tfrac12:
f(g(x))=2(2x+3)-3=4x+6-3=4x+3

Passo 4

Para (gcirc f)(x)=g(f(x)), aplicamos g(u)=2u+3 a u=f(x). Como f já é por pedaços, mantemos as mesmas partições:
  • Se x>=2, então f(x)=x^2-4x+3 e
g(f(x))=2(x^2-4x+3)+3=2x^2-8x+6+3=2x^2-8x+9
  • Se x<2, então f(x)=2x-3 e
g(f(x))=2(2x-3)+3=4x-6+3=4x-3

Passo 5

Agora já temos as expressões simplificadas de ambas as composições e podemos reunir o resultado final. Mantemos as mesmas condições nos pedaços de domínio.

Resposta

(f\circ g)(x)= 4x^2+4x,&x>= -tfrac12,4x+3,&x< -tfrac12,\quad(g\circ f)(x)= 2x^2-8x+9,&x>=2,4x-3,&x<2

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