Determine as funções que descrevem o deslocamento
e a velocidade
de um objeto em movimento horizontal em um meio onde a força de resistência é proporcional à velocidade, sendo a força resistiva dada por:
onde
é uma constante de resistividade do ar e
é a velocidade do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as funções que descrevem o deslocamento
e a velocidade
de um objeto que se move horizontalmente em um meio onde a força de resistência do ar é proporcional à velocidade. A força resistiva é dada por:
Aqui,
é uma constante que representa a resistividade do ar,
é a massa do objeto e
é a velocidade. Vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No nosso caso, a única força atuando é a resistência do ar, então podemos igualar:
O sinal negativo indica que a força de resistência está na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Passo 4
Integrando ambos os lados, temos:
Onde
é a constante de integração. Vamos resolver para
:
Podemos chamar
de
, que é a velocidade inicial quando
. Então:
Passo 5
Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar o deslocamento
integrando
em relação ao tempo:
Onde
é outra constante de integração. Se considerarmos que o deslocamento inicial
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
As funções que descrevem a velocidade e o deslocamento do objeto são: