Determine as funções que descrevem o deslocamento x(t) e a velocidade v(t) de um objeto em movimento horizontal em um meio onde a força de resistência é proporcional à velocidade, sendo a força resistiva dada por:
F=k m v
onde k é uma constante de resistividade do ar e v é a velocidade do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as funções que descrevem o deslocamento F = k m v e a velocidade de um objeto que se move horizontalmente em um meio onde a força de resistência do ar é proporcional à velocidade. A força resistiva é dada por:
Aqui, é uma constante que representa a resistividade do ar, é a massa do objeto e é a velocidade. Vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m a = m dvdt
No nosso caso, a única força atuando é a resistência do ar, então podemos igualar:
m dvdt = -k m v
O sinal negativo indica que a força de resistência está na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por dvdt = -k v :
dvv = -k dt
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos separar as variáveis:

Passo 4

Integrando ambos os lados, temos:
integral 1v dv = -k integral dt
ln |v| = -k t + C
Onde v = e^-k t + C = e^C e^-k t é a constante de integração. Vamos resolver para v(t) = v0 e^-k t :
Podemos chamar de , que é a velocidade inicial quando . Então:

Passo 5

Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar o deslocamento x(t) = integral v(t) dt = integral v0 e^-k t dt integrando x(t) = -v0k e^-k t + C' em relação ao tempo:
0 = -v0k e^0 + C' Rightarrow C' = v0k
x(t) = v0k (1 - e^-k t)
Onde é outra constante de integração. Se considerarmos que o deslocamento inicial , então:
Substituindo de volta:

Resposta

As funções que descrevem a velocidade e o deslocamento do objeto são:
v(t) = v0 e^-k t
x(t) = v0k (1 - e^-k t)

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