Determine as funções elementares f e g de modo que g o f = F, quando F é uma função real dada por uma das leis abaixo: F(x) = sen(3^x)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar duas funções simples, chamadas de f e g, de forma que quando a gente compõe essas duas funções, ou seja, aplica uma dentro da outra ( g(f)), o resultado seja a função . Basicamente, precisamos separar essa função composta em duas partes mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar o seguinte: é uma composição de duas funções. A função interna é 3^x e a função externa é , onde u é o resultado da função interna. Então, podemos identificar que:
  • A função f(x) vai ser a que está dentro do seno, ou seja, .
  • A função g(u) vai ser o seno daquilo que a função f retorna, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se isso está correto. Se definirmos e , então a composição g(f) significa g(f(x)), que fica . Isso é exatamente a função F(x) que nos foi dada. Portanto, encontramos as funções que procurávamos.

Resposta

As funções são e .

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