Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(1-3 n3+4 n)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
sumn=1^infty(1-3n3+4n)^n
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série:
an = (1-3n3+4n)^n
Primeiro, simplificamos a fração dentro da potência:
1 - 3n3 + 4n = -3n + 14n + 3 = -3 + 1n4 + 3n
À medida que -3 + 1n4 + 3n approx -34 = -34 cresce, os termos e tendem a zero, então:

Passo 3

Isso nos indica que, para grandes valores de an approx (-34)^n , o termo geral se comporta aproximadamente como:
Esta é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por .

Passo 4

Para séries geométricas da forma |r| = | -34 | = 34 < 1 , sabemos que elas convergem se o valor absoluto da raz��o for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Portanto, a série geométrica converge.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série original é absolutamente convergente. Isso significa verificar a convergência da série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (1-3n3+4n)^n | = sumn=1^infty ( 3n -13 +4n )^n
Seguindo a mesma lógica do Passo 2, para grandes 3n -13 +4n approx 3n4n = 34 :
Então, a série dos valores absolutos também se comporta como uma série geométrica com razão , o que significa que ela converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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