Mostre que não existe o limite lim z 0 zbarz.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite não existe. Aqui, estamos lidando com números complexos, então vamos precisar entender um pouquinho sobre limites no contexto dos números complexos e também sobre o que é o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O conjugado de , denotado por , é .

Passo 3

Então, vamos expressar a fração zbarz = x + iyx - iy usando essas definições:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é x + iyx - iy cdot x + iyx + iy = (x + iy)^2x^2 + y^2 :

Passo 5

Calculando o numerador:
(x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + i^2y^2 = x^2 + 2ixy - y^2
Então, temos:
x^2 + 2ixy - y^2x^2 + y^2

Passo 6

Podemos separar essa fração em partes reais e imaginárias:
x^2 - y^2x^2 + y^2 + i(2xyx^2 + y^2)

Passo 7

Agora, para analisar o limite quando (ou seja, quando e ), vamos considerar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de 0.

Passo 8

Primeiro caminho: Suponha que zbarz = xx = 1 (isto é, aproximando-se da origem ao longo do eixo real). Então:
Então, o limite nesse caso é 1.

Passo 9

Segundo caminho: Agora, suponha que zbarz = iy-iy = -1 (aproximando-se pela imagina). Então:
Então, o limite nesse caso é -1.

Passo 10

Como obtemos valores diferentes (1 e -1) dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de 0, isso significa que o limite não é único.

Resposta

Portanto, não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de 0 por diferentes caminhos.

Exercícios relacionados