Determine quais das funções entre espaços vetoriais são transformações lineares.
, dada por
. Onde P2 é o espaço vetorial dos polinômios de coeficientes reais de grau 2 .
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O domínio é
; um vetor genérico do domínio será . - O contradomínio é
, o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a . - A imagem de
é o polinômio sem termo constante: .
O que o enunciado pede: - Determinar se
é uma transformação linear (ou seja, provar ou refutar linearidade).
Passo 2
Lembrete didático: definição de transformação linear (do jeito prático para a prova).
Uma aplicação entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
no domínio e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
- aditividade:
- homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
Uma forma equivalente, muito útil, é verificar que para quaisquer escalares
e vetores
,
Na prova, costuma-se escolher vetores genéricos e verificar as igualdades explicitamente. Vamos fazer isso com
e
.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
a
:
Separando termos:
Mas
e
. Portanto
Assim, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Primeiro calcule
:
Aplique
a
:
Mas
. Logo
Portanto a propriedade de compatibilidade com escalares também vale.
Passo 5
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas para vetores genéricos e escalar genérico, conclui-se que
preserva combinações lineares e, por definição, é uma transformação linear.
Dica prática para a prova: ou se faz as duas verificações separadas (como acima) ou se prova diretamente que para quaisquer
e vetores
vale
. Aqui as contas são muito simples porque os coeficientes
e
entram linearmente no polinômio.
Passo 6
Observação adicional (útil para compreensão): a imagem de
é o subespaço de
formado por polinômios da forma
(ou seja, sem termo constante). Esse subespaço tem dimensão
. Isso confirma que
é bem comportada como aplicação linear entre espaços de dimensão
.
Resposta
Sim.
é linear.