Determine quais das funções entre espaços vetoriais são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow P 2, dada por T(a, b)=a x^{2}+b x. Onde P2 é o espaço vetorial dos polinômios de coeficientes reais de grau 2 .

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T: \mathbb{R}^{2}\longrightarrow P2 definida por
T(a,b)=a x^{2}+b x.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O domínio é \mathbb{R}^{2}; um vetor genérico do domínio será (a,b).
  • O contradomínio é P2, o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2.
  • A imagem de (a,b) é o polinômio sem termo constante: a x^{2}+b x.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar se T é uma transformação linear (ou seja, provar ou refutar linearidade).

Passo 2

Lembrete didático: definição de transformação linear (do jeito prático para a prova).
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v no domínio e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v),
  1. homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
T(c\,u)=c\,T(u).
Uma forma equivalente, muito útil, é verificar que para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Na prova, costuma-se escolher vetores genéricos e verificar as igualdades explicitamente. Vamos fazer isso com u=(a_1,b_1) e v=(a_2,b_2).

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(a_1,b_1) e v=(a_2,b_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(a_1+a_2,\; b_1+b_2).
Agora aplique T a u+v:
T(u+v)=T(a_1+a_2,\; b_1+b_2)=(a_1+a_2)x^{2}+(b_1+b_2)x.
Separando termos:
(a_1+a_2)x^{2}+(b_1+b_2)x = a_1x^{2}+b_1x + a_2x^{2}+b_2x.
Mas a_1x^{2}+b_1x=T(a_1,b_1)=T(u) e a_2x^{2}+b_2x=T(a_2,b_2)=T(v). Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v).
Assim, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(a,b). Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c a,\; c b).
Aplique T a c\,u:
T(ca,\; cb)= (c a)x^{2}+(c b)x = c\,(a x^{2}+b x).
Mas a x^{2}+b x = T(a,b)=T(u). Logo
T(c\,u)=c\,T(u).
Portanto a propriedade de compatibilidade com escalares também vale.

Passo 5

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas para vetores genéricos e escalar genérico, conclui-se que T preserva combinações lineares e, por definição, é uma transformação linear.
Dica prática para a prova: ou se faz as duas verificações separadas (como acima) ou se prova diretamente que para quaisquer \alpha,\beta e vetores u,v vale T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v). Aqui as contas são muito simples porque os coeficientes a e b entram linearmente no polinômio.

Passo 6

Observação adicional (útil para compreensão): a imagem de T é o subespaço de P2 formado por polinômios da forma a x^{2}+b x (ou seja, sem termo constante). Esse subespaço tem dimensão 2. Isso confirma que T é bem comportada como aplicação linear entre espaços de dimensão 2.

Resposta

Sim. T é linear.

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