Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, uma tranformação linear tal que T(1,0)=(1,2,4) e T(0,1)=(4,1,3). Encontre:
a) (4 pts) Determine essa trasformação.
b) (1 pt) Use a) para econtrar \mathrm{T}(1,3).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0)=(1,2,4).
T(0,1)=(4,1,3).
O que se pede:
(a) Determinar explicitamente a transformação T (ou seja, dar uma fórmula que diga T(x,y) para um vetorzinho genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2).
(b) Usar (a) para calcular T(1,3).
Passo 2
Conceito essencial (explicação didática e curta): uma transformação T é linear quando para quaisquer escalares a,b e vetores u,v vale
T(au+bv)=a\,T(u)+b\,T(v).
No espaço \mathbb{R}^2 a base canônica é formada por e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
(x,y)=x\,(1,0)+y\,(0,1).
Pela linearidade de T, isso implica que conhecer T(1,0) e T(0,1) determina T completamente (porque T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)).
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior, escrevo T(x,y) como combinação das imagens dadas:
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Agora substituo os vetores conhecidos:
T(x,y)=x\,(1,2,4)+y\,(4,1,3).
Faço a soma coordenada a coordenada (mostrando cada coordenada):
coordenada 1: x\cdot 1 + y\cdot 4 = x+4y,
coordenada 2: x\cdot 2 + y\cdot 1 = 2x+y,
coordenada 3: x\cdot 4 + y\cdot 3 = 4x+3y.
Portanto, em forma explícita:
T(x,y)=(\,x+4y,\;2x+y,\;4x+3y\,).
Passo 4
Representação matricial (para fixar a ideia): a matriz da transformação T em relação às bases canônicas tem como colunas T(1,0) e T(0,1). Logo