Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, uma tranformação linear tal que T(1,0)=(1,2,4) e T(0,1)=(4,1,3). Encontre:
a) (4 pts) Determine essa trasformação.
b) (1 pt) Use a) para econtrar \mathrm{T}(1,3).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
  • T(1,0)=(1,2,4).
  • T(0,1)=(4,1,3).
O que se pede:
(a) Determinar explicitamente a transformação T (ou seja, dar uma fórmula que diga T(x,y) para um vetorzinho genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2).
(b) Usar (a) para calcular T(1,3).

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática e curta): uma transformação T é linear quando para quaisquer escalares a,b e vetores u,v vale
T(au+bv)=a\,T(u)+b\,T(v).
No espaço \mathbb{R}^2 a base canônica é formada por e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
(x,y)=x\,(1,0)+y\,(0,1).
Pela linearidade de T, isso implica que conhecer T(1,0) e T(0,1) determina T completamente (porque T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)).

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior, escrevo T(x,y) como combinação das imagens dadas:
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Agora substituo os vetores conhecidos:
T(x,y)=x\,(1,2,4)+y\,(4,1,3).
Faço a soma coordenada a coordenada (mostrando cada coordenada):
  • coordenada 1: x\cdot 1 + y\cdot 4 = x+4y,
  • coordenada 2: x\cdot 2 + y\cdot 1 = 2x+y,
  • coordenada 3: x\cdot 4 + y\cdot 3 = 4x+3y.
Portanto, em forma explícita:
T(x,y)=(\,x+4y,\;2x+y,\;4x+3y\,).

Passo 4

Representação matricial (para fixar a ideia): a matriz da transformação T em relação às bases canônicas tem como colunas T(1,0) e T(0,1). Logo
A=\begin{pmatrix} 1 & 4\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] 4 & 3 \end{pmatrix},
e para \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} vale
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Multiplicando a matriz pela coluna \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} obtém-se exatamente (x+4y,\;2x+y,\;4x+3y), como calculado acima.]

Passo 5

Agora calculo \mathrm{T}(1,3) usando a fórmula encontrada. Tomo x=1 e y=3 em
T(x,y)=(x+4y,\;2x+y,\;4x+3y).
Substituindo:
  • primeira coordenada: 1+4\cdot 3 = 1+12 = 13,
  • segunda coordenada: 2\cdot 1 + 3 = 2+3 = 5,
  • terceira coordenada: 4\cdot 1 + 3\cdot 3 = 4+9 = 13.
Logo
T(1,3)=(13,5,13).

Passo 6

Pequena verificação alternativa (pra ficar seguro): posso também calcular como combinação linear
T(1,3)=1\cdot T(1,0)+3\cdot T(0,1)= (1,2,4)+3\cdot(4,1,3).
Calculo 3\cdot(4,1,3)=(12,3,9) e somo (1,2,4)+(12,3,9)=(13,5,13), que bate com o resultado anterior.

Resposta

(a) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por \;T(x,y)=(x+4y,\;2x+y,\;4x+3y).\newline
(b) \;T(1,3)=(13,5,13).

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