Determine as funções f e g tais que
f^prime(x)=x tg^-1 x e f(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f tal que
f'(x)=x;tg^-1x
e
f(0)=0
Para isso vamos integrar f'(x) e depois ajustar a constante usando f(0)=0.

Passo 2

Para integrar
integral x;tg^-1x,dx
faremos integração por partes. Escolhemos
u=tg^-1x, dv=x,dx
Então
du=11+x^2,dx, v=x^22

Passo 3

Pela fórmula de partes,
integral x,tg^-1x,dx =x^22,tg^-1x -integral x^22,11+x^2,dx
Note que
x^21+x^2=1-11+x^2,
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integral x^22,11+x^2,dx =12integrall(1-11+x^2r)dx =x2-12tg^-1x
Substituindo de volta,
integral x,tg^-1x,dx =x^22,tg^-1x -l(x2-12tg^-1xr) =x^2+12,tg^-1x-x2+C

Passo 4

Como f'(x)=x,tg^-1x, temos
f(x)=x^2+12,tg^-1x-x2+C
Impondo f(0)=0:
f(0)=0^2+12cdot0-02+C= C=0
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f(x)=x^2+12,tg^-1x-x2

Resposta

A única função f que satisfaz as condições é
boxedf(x)=x^2+12,tg^-1x-x2
Não há informação suficiente no enunciado para determinar qualquer função g.

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