Encontre a anti-derivada das seguintes funções:
f(x)=x sen^3(x^2);

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) de
f(x)=xsin^3l(x^2r).
O conteúdo essencial aqui é usar substituição e a identidade para sin^3u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2, logo
du = 2x,dx
e
x,dx = tfrac12,du.
Assim,
integral xsin^3l(x^2r),dx = tfrac12integral sin^3(u),du

Passo 3

Usamos a identidade
sin^3(u)=sin(u)l(1-cos^2(u)r),
então
integral sin^3(u),du = integral sin(u),du ;-;integral sin(u)cos^2(u),du

Passo 4

Calculamos separadamente:
  1. integral sin(u),du = -cos(u)
  2. Para integral sin(u)cos^2(u),du fazemos v=cos(u), dv=-sin(u),du, obtendo
integral sin(u)cos^2(u),du = -integral v^2,dv = -v^33 = -cos^3(u)3
Logo
integral sin^3(u),du = -cos(u) + cos^3(u)3

Passo 5

Voltando a x e incluindo o fator tfrac12, a primitiva é
F(x) = tfrac12l(-cos(u)+tfraccos^3(u)3r)m|u=x^2 = -tfrac12cosl(x^2r) + tfrac16cos^3l(x^2r) + C

Resposta

-tfrac12cosl(x^2r) + tfrac16cos^3l(x^2r) + C

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