Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral(16 x^3-1raizx^3) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a família de primitivas de
integrall(16x^3-tfrac1raizx^3r),dx
e depois derivar o resultado para conferir. O conteúdo aqui é integração imediata, usando a regra de potência
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o segundo termo em forma de potência. Como
1raizx^3 = x^-3/2,
temos
integrall(16x^3-x^-3/2r),dx = integral 16x^3,dx ;-; integral x^-3/2,dx

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência separadamente:
integral 16x^3,dx =16cdotx^44 =4x^4,
integral x^-3/2,dx =x^-3/2+1-3/2+1 =x^-1/2-1/2 =-2x^-1/2
Logo,
integrall(16x^3-x^-3/2r),dx =4x^4 - l(-2x^-1/2r) =4x^4+2x^-1/2

Passo 4

Adicionamos a constante de integração C. A família de primitivas é
F(x)=4x^4+2x^-1/2+C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) =ddxl(4x^4r) +ddxl(2x^-1/2r) =16x^3+2l(-tfrac12r)x^-3/2 =16x^3-x^-3/2,
e como x^-3/2=1/raizx^3, obtém-se de volta o integrando original.

Resposta

F(x)=4x^4+2x^-1/2+C

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