Determine as funções f e g tais que
g^prime(x)=x^3 e^x^2 e g(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas funções f e g tais que
g'(x)=x^3e^x^2
e ainda satisfaçam a condição inicial g(1)=0.
O conteúdo aqui é primitiva (integração) de uma função que envolve e^x^2 multiplicado por um polinômio em x.

Passo 2

Como f deve ser a derivada de g, basta tomar
f(x)=g'(x)=x^3e^x^2

Passo 3

Para achar g(x) integramos g'(x). Vamos calcular
integral x^3e^x^2,dx
Fazemos a substituição u=x^2, de modo que du=2x,dx, ou seja, x,dx=tfrac12,du. Note que x^3dx = x^2cdot x,dx = ucdot tfrac12,du. Portanto

Passo 4

integral x^3e^x^2,dx = integral u,e^u,12,du = 12integral u,e^u,du
Agora usamos a primitiva de u,e^u, que é (u-1)e^u. Logo,
integral x^3e^x^2,dx = 12,(u-1)e^u + C = 12,(x^2-1)e^x^2 + C

Passo 5

Impondo a condição inicial g(1)=0, temos
g(1)=12l(1^2-1r)e^1^2 + C = 12cdot0cdot e^1 + C = C = 0
Portanto a constante de integração é zero.

Resposta

f(x)=x^3e^x^2, g(x)=x^2-12,e^x^2

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