Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral raiz3 x-1raiz3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas de
integral raiz3x-1raiz3x;dx
Este é um exercício de integração de potências de x. Vamos usar a regra
integral x^pdx = x^p+1p+1+C e, em seguida, derivar para conferir.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em potências de x:
raiz3x = raiz3,x^1/2 e
1raiz3x = 1raiz3,x^-1/2.
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raiz3x-1raiz3x = raiz3,x^1/2 - 1raiz3,x^-1/2

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral raiz3x,dx = raiz3integral x^1/2dx = raiz3cdotx^3/23/2 = 2raiz33x^3/2,
integral 1raiz3x,dx = 1raiz3integral x^-1/2dx = 1raiz3cdotx^1/21/2 = 2raiz3x^1/2
Portanto a primitiva geral é
F(x) = 2raiz33x^3/2 ;-;2raiz3x^1/2 + C

Passo 4

Agora derivamos F(x) para verificar:
F'(x) = 2raiz33cdot32x^1/2 -2raiz3cdot12x^-1/2 = raiz3,x^1/2 -1raiz3,x^-1/2,
que coincide com o integrando original.

Resposta

F(x) = 2raiz33x^3/2 ;-;2raiz3x^1/2 + C

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