Determine se as funções T: R^2 R^2 são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
T(x,y)=(2x-y,x+y)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação Tcolon R^2toR^2 definida por
T(x,y) = (2x - y,;x + y)
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: vamos verificar se T é linear e, se for, achar o núcleo ( ker T) e a imagem ( Im T), bem como as respectivas dimensões.

Passo 2

Para ver que T é linear, basta notar que ela pode ser escrita como multiplicação por uma matriz. Definimos
A = 2 & -1 1 & 1,
de modo que
T(x,y) = A x y
Como a multiplicação por matriz satisfaz A(u+v)=Au+Av e A(alpha u)=alpha(Au), concluímos que T é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo de
ou seja, o sistema
Da primeira equação leva a , logo e . Assim

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é, pelos vetores (2,1) e (-1,1). Como o determinante de A é
det A = 2cdot1 - (-1)cdot1 = 3 neq 0,
essas colunas são linearmente independentes e geram todo R^2. Logo
Im T = R^2, dim Im T = 2

Resposta

T é linear.
ker T = (0,0), dimker T = 0.
Im T = R^2, dimIm T = 2.

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