Determine se as funções são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação definida por
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: vamos verificar se é linear e, se for, achar o núcleo () e a imagem (), bem como as respectivas dimensões.
Passo 2
Para ver que é linear, basta notar que ela pode ser escrita como multiplicação por uma matriz. Definimos
de modo que
T(x,y) = A x y
Como a multiplicação por matriz satisfaz A(u+v)=Au+Av e A(alpha u)=alpha(Au), concluímos que T é linear.
Passo 3
Para achar o núcleo de
ou seja, o sistema
Da primeira equação leva a , logo e . Assim
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é, pelos vetores (2,1) e (-1,1). Como o determinante de A é
det A = 2cdot1 - (-1)cdot1 = 3 neq 0,
essas colunas são linearmente independentes e geram todo R^2. Logo
Im T = R^2, dim Im T = 2
Resposta
T é linear. ker T = (0,0), dimker T = 0. Im T = R^2, dimIm T = 2.