Determine se as funções são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear e, em caso positivo, determinar seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem. O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares em espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Para ver que é linear, note que ela pode ser escrita como multiplicação pela matriz
isto é,
Como toda transformação definida por é linear (preserva soma e escalar), concluímos que é linear.
Passo 3
O núcleo de
da primeira equação vem , ou seja, e portanto , . Logo
e
Passo 4
A imagem de é o subespaço gerado pelas colunas de , isto é,
Como e são vetores linearmente independentes em , eles geram todo . Assim
e
Resposta
T é linear. ker T = (0,0), dim(ker T)=0. ImT = R^2, dim(ImT)=2.