Determine se as funções T: R^2 R^2 são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
T(x,y)=(x-y,x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(x-y,;x+y)
é linear e, em caso positivo, determinar seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem. O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares em espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 2

Para ver que é linear, note que ela pode ser escrita como multiplicação pela matriz
isto é,
Como toda transformação definida por é linear (preserva soma e escalar), concluímos que é linear.

Passo 3

O núcleo de
da primeira equação vem , ou seja, e portanto , . Logo
e

Passo 4

A imagem de é o subespaço gerado pelas colunas de , isto é,
Como e são vetores linearmente independentes em , eles geram todo . Assim
e

Resposta

T é linear.
ker T = (0,0), dim(ker T)=0.
ImT = R^2, dim(ImT)=2.

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