Obtenha f^prime(p) para:
f(x)=sen(x),

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a derivada de f(x)=sen(x) no ponto x=p. O conteúdo é derivadas de funções trigonométricas, que vamos obter usando a definição de derivada via limite.

Passo 2

Pela definição de derivada em x=p temos
f'(p)=limhto0sen(p+h)-sen(p)h
Para simplificar o numerador, usamos a identidade trigonométrica
sen(p+h)=sen(p)cos(h)+cos(p)sen(h)

Passo 3

Substituindo na expressão do quociente, obtemos
sen(p)l(cos(h)-1r)+cos(p)sen(h)h =sen(p),cos(h)-1h+cos(p),sen(h)h
Sabemos pelos limites fundamentais que
limhto0cos(h)-1h=0 e limhto0sen(h)h=1

Passo 4

Aplicando esses resultados no limite, concluímos
f'(p)=sen(p)cdot0+cos(p)cdot1=cos(p)

Resposta

cos(p)

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