6.3K Considere a edo não homogênea:
t^3 dddotx+3 t^2 ddotx=1
Verifique que as funções x1(t)=1, x2(t)=t e x3(t)=1 / t, t>0, são soluções LI da edo homogênea associada e, usando o MVP, encontre a solução geral da edo não homogênea.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
t^3dddot x + 3t^2ddot x = 1,
associada à homogênea
t^3dddot x + 3t^2ddot x = 0,
no domínio t>0. Vamos usar teoria de EDOs lineares de terceira ordem, verificar soluções da homogênea e aplicar o método de variação de parâmetros (MVP).

Passo 2

Dividindo por t^3 (válido para t>0) obtemos a forma padrão
x''' + 3t,x'' = 1t^3,
com homogênea
x''' + 3t,x'' = 0
Testando
;x1(t)=1,;x2(t)=t,;x3(t)=tfrac1t,
cada uma anula o lado esquerdo. O Wronskiano
W(x1,x2,x3)(t) =det 1 & t & 1/t 0 & 1 & -1/t^2 0 & 0 & 2/t^3 =2t^3neq0(t>0),
logo são linearmente independentes.

Passo 3

Pelo MVP, buscamos
x(t)=u1(t)x1(t)+u2(t)x2(t)+u3(t)x3(t)
com ui satisfazendo o sistema
u1',x1 + u2',x2 + u3',x3 = 0,
u1',x1' + u2',x2' + u3',x3' = 0,
u1',x1'' + u2',x2'' + u3',x3'' = 1t^3
Como
x1=1,;x1'=0,;x1''=0; x2=t,;x2'=1,;x2''=0; x3=tfrac1t,;x3'=-tfrac1t^2,;x3''=tfrac2t^3,
da terceira equação vem
u3';2t^3=1t^3 Rightarrow u3'=tfrac12

Passo 4

Da segunda equação
u2' - 1t^2,u3'=0 Rightarrow u2'=12t^2
Da primeira
u1'+t,u2'+1tu3'=0 ;Rightarrow; nu1'+12t+12t=0 ;Rightarrow; nu1'=-1t
Integrando (descartando constantes de integração que só geram partes homogêneas):
u3=integraltfrac12,dt=t2, nu2=integral12t^2,dt=-12t, nu1=integral -1t,dt=-ln t

Passo 5

A solução particular é
xp = u1cdot1 + u2cdot t + u3cdot1t = -ln t ; - ;12 ; + ;12 = -ln t

Passo 6

Assim, a solução geral da EDO não homogênea é
x(t)=C1cdot1 + C2,t + C3,1t ;+;xp(t) = C1 + C2,t + C3t - ln t

Resposta

x(t)=C1 + C2t + C3t - ln t

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