Determine se as funções satisfazem a equação ux x+uy y+uz z=0.
u=e^3 x+4 y cos 5 z;

Passo 1

Nesse exercício, temos a função u = e^3x+4ycos 5z e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace em três dimensões uxx+uyy+uzz=0. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u.

Passo 2

A equação de Laplace em R^3 é dada por uxx+uyy+uzz=0. Se ao calcularmos essas derivadas e somá-las obtivermos zero, então u satisfaz a equação.

Passo 3

Calcular as derivadas segundas de u. Primeiro notamos que
ux = 3e^3x+4ycos5z, uxx = 9e^3x+4ycos5z,
uy = 4e^3x+4ycos5z, uyy = 16e^3x+4ycos5z,
uz = -5e^3x+4ysin5z, uzz = -25e^3x+4ycos5z

Resposta

Somando as derivadas temos
uxx+uyy+uzz = (9 + 16 - 25)e^3x+4ycos5z = 0
Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

Exercícios relacionados