Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u=xx^2+y^2;

Passo 1

A questão pede para verificar se a função u(x,y)=dfracxx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy=0. O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem e a equação de Laplace, então vamos precisar aplicar a regra do quociente para obter ux, uy e depois suas segundas derivadas.

Passo 2

Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente. Definindo r^2=x^2+y^2, temos
$$
u = \frac{x}{r^2}. u = xr^2
u_x=\frac{y2-x2}{(x2+y2)^2},
\quad
u_y=-\frac{2xy}{(x2+y2)^2}.
$$

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. Para uxx, derivamos nux=dfracy^2-x^2(x^2+y^2)^2 em relação a x, usando novamente a regra do quociente com numerador N=y^2-x^2 e denominador D=(x^2+y^2)^2. O resultado é
uxx=2x,(x^2-3y^2)(x^2+y^2)^3
De modo análogo, derivando nuy=-dfrac2xy(x^2+y^2)^2 em relação a y, obtemos
uyy=2x,(3y^2-x^2)(x^2+y^2)^3

Passo 4

Por fim, somamos as segundas derivadas:
uxx+nuyy =2x(x^2-3y^2)(x^2+y^2)^3+2x(3y^2-x^2)(x^2+y^2)^3 =0
Isso mostra que uxx+uyy=0, ou seja, u satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função u(x,y)=dfracxx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace, pois uxx+uyy=0.

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