Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace
.
;
Passo 1
A questão pede para verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace
. O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem e a equação de Laplace, então vamos precisar aplicar a regra do quociente para obter
,
e depois suas segundas derivadas.
Passo 2
Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente. Definindo
, temos
$$
u = \frac{x}{r^2}.
u_x=\frac{y2-x2}{(x2+y2)^2},
\quad
u_y=-\frac{2xy}{(x2+y2)^2}.
\quad
u_y=-\frac{2xy}{(x2+y2)^2}.
$$
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. Para
, derivamos
em relação a
, usando novamente a regra do quociente com numerador
e denominador
. O resultado é
De modo análogo, derivando
em relação a
, obtemos
Passo 4
Por fim, somamos as segundas derivadas:
Isso mostra que
, ou seja,
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.