Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis em
(0,0) e, em caso afirmativo, calculá-lo. O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos precisar testar diferentes caminhos de aproximação para ver se a função tende ao mesmo valor.

Passo 2

Vamos olhar primeiro pelo eixo y, ou seja, fixar x=0 e deixar y to 0. Nesse caso a função fica
0^2,y0^4+y^4=0
Então ao longo do eixo y o valor tende a 0.

Passo 3

Agora aproximamos por uma reta genérica y = m x, com mneq 0. Substituindo na expressão:
x^2,(m x)x^4+(m x)^4 =m x^3x^4l(1+m^4r) =m1+m^4cdot1x
À medida que xto0, 1/x explode para +infty ou -infty dependendo de como x se aproxima de zero. Logo, ao longo dessas retas o valor da função não se aproxima de um número finito.

Passo 4

Como ao longo do eixo y o limite é 0 e ao longo de retas y=mx com mneq0 a expressão diverge, a função não tende a um valor único.

Passo 5

Portanto, não existe um único valor que a função assuma em todas as direções ao se aproximar de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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