Determine se as funções satisfazem a equação
.
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Passo 1
O enunciado pede pra gente testar se a função é harmônica, ou seja, se ela satisfaz a equação de Laplace
. A função é
. Vamos precisar aplicar regra da cadeia pra achar derivadas parciais de primeira e segunda ordem e depois somá-las.
Passo 2
Calculemos as derivadas de primeira ordem. Defina
. Então
Passo 3
Agora derivadas de segunda ordem. Por exemplo,
Analogamente
Passo 4
Somando as três segundas derivadas:
Mas
, então
Logo, a função não satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Toda essa conta vale para
. No ponto
a função nem está bem definida. Mas, em qualquer outra região, ela não é harmônica.