Determine se as funções satisfazem a equação ux x+uy y+uz z=0.
u=ln (x^2+y^2+z^2);

Passo 1

O enunciado pede pra gente testar se a função é harmônica, ou seja, se ela satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy+uzz=0. A função é . Vamos precisar aplicar regra da cadeia pra achar derivadas parciais de primeira e segunda ordem e depois somá-las.

Passo 2

Calculemos as derivadas de primeira ordem. Defina R^2=x^2+y^2+z^2. Então
ux=ddxln(R^2)=1R^2cdot2x=2xR^2,
uy=2yR^2,
uz=2zR^2

Passo 3

Agora derivadas de segunda ordem. Por exemplo,
uxx=ddxl(2xR^2r)=21R^2+2xcdot(-2)xR^4=2R^2-4x^2R^4
Analogamente
uyy=2R^2-4y^2R^4,
uzz=2R^2-4z^2R^4

Passo 4

Somando as três segundas derivadas:
uxx+nuyy+nuzz=l(2R^2-4x^2R^4r)+l(2R^2-4y^2R^4r)+l(2R^2-4z^2R^4r) =6R^2-4(x^2+y^2+z^2)R^4
Mas x^2+y^2+z^2=R^2, então
uxx+nuyy+nuzz=6R^2-4R^2R^4=2R^2neq0
Logo, a função não satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Toda essa conta vale para Rneq0. No ponto (0,0,0) a função nem está bem definida. Mas, em qualquer outra região, ela não é harmônica.

Resposta

uxx+uyy+uzz=2x^2+y^2+z^2neq0, então a função não satisfaz a equação de Laplace.

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