Mostre que u(x, y)=e^-a^2 t sin (k x) e u=e^-x^2 / 4 k t / raizt satisfazem a equação do calor ut-a^2 ux x=0

Passo 1

Temos que mostrar que as funções dadas satisfazem a equação do calor
ut - a^2 uxx = 0. Para isso vamos calcular as derivadas parciais ut e uxx de cada função e verificar que ut = a^2 uxx.

Passo 2

Considere primeiro
u(x,t) = e^-a^2 k^2 tsin(kx)
Calculando ut:
ut = -a^2 k^2 e^-a^2 k^2 tsin(kx) = -a^2 k^2 ,u
Calculando uxx:
uxx = -k^2 e^-a^2 k^2 tsin(kx) = -k^2 ,u
Então
ut - a^2 uxx = -a^2 k^2 u - a^2(-k^2 u)=0,
logo essa primeira função satisfaz a equação do calor.

Passo 3

Agora considere
u(x,t) = t^-1/2expgl(-x^24a^2tgr)
Usando produto e cadeia, obtemos
ut = l(-12t + x^24a^2t^2r)u,
ux = -x2a^2t,u,
uxx = -12a^2tu + x^24a^4t^2u
Multiplicando por a^2:
a^2uxx = l(-12t + x^24a^2t^2r)u = ut
Portanto
ut - a^2uxx =0,
mostrando que a segunda função também satisfaz a equação do calor.

Resposta

Ambas as funções satisfazem a equação do calor ut - a^2 uxx = 0.

Exercícios relacionados