Determine se as funções a seguir são bijetoras de
para
. Justifique sua resposta baseandose nas propriedades que devem cumprir as funções para serem bijetoras.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é para determinar se a função $ f(x) = 3x^2 + 10 $ é bijetora de
para
. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser bijetora. Uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função). Vamos verificar essas duas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se sempre que $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $. Vamos analisar a nossa função $ f(x) = 3x^2 + 10 $.
Se assumirmos que $ f(a) = f(b) $, temos:
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Agora, isso nos diz que $ a = b $ ou $ a = -b $. Ou seja, se $ a $ for positivo, $ -a $ também dará o mesmo valor para $ f(x) $. Portanto, existem dois valores de $ x $ que resultam no mesmo $ f(x) $, o que significa que a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo $ y $ no contradomínio
, existe pelo menos um $ x $ em
tal que $ f(x) = y $.
Nossa função é $ f(x) = 3x^2 + 10 $. Vamos ver qual é o menor valor que $ f(x) $ pode atingir. Como $ x^2 $ é sempre não negativo e estamos multiplicando por 3 e somando 10, o menor valor de $ f(x) $ ocorre quando $ x = 0 $:
Isso significa que $ f(x) $ nunca será menor que 10. Portanto, para qualquer $ y < 10 $, não existe $ x $ tal que $ f(x) = y $. Assim, a função não é sobrejetora porque não cobre todos os valores de
.
Resposta
A função $ f(x) = 3x^2 + 10 $ não é bijetora de
para
, pois não é injetora nem sobrejetora.