Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
G(x)=x^2+5 ; x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função G(x)=x^2+5, com domínio [0,infty), é invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa. O conteúdo envolve a definição de função injetora (estritamente crescente) e a construção da função inversa.

Passo 2

Para ser invertível, G deve ser injetora. Note que em [0,infty) a função x^2 é estritamente crescente, então x^2+5 também é estritamente crescente. Logo, G é injetora.

Passo 3

Agora vamos ver a imagem de G. Como x>=0 implica x^2>=0, temos G(x)=x^2+5>=5. Portanto, a imagem de G é [5,infty). Se considerarmos o contradomínio como [5,infty), a função fica sobrejetora.

Passo 4

Para encontrar a inversa, escrevemos y=x^2+5 e isolamos x. Subtraindo 5 de ambos os lados sai y-5=x^2. Como x>=0, tomamos a raiz quadrada positiva e obtemos x=raizy-5.

Passo 5

Assim concluímos que a inversa G^-1colon[5,infty)to[0,infty) é dada por G^-1(y)=raizy-5.

Resposta

A função é invertível e sua inversa é G^-1(x)=raizx-5, com domínio [5,infty).

Exercícios relacionados