Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, com domínio
, é invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa. O conteúdo envolve a definição de função injetora (estritamente crescente) e a construção da função inversa.
Passo 2
Para ser invertível, G deve ser injetora. Note que em
a função
é estritamente crescente, então
também é estritamente crescente. Logo,
é injetora.
Passo 3
Agora vamos ver a imagem de
. Como
implica
, temos
. Portanto, a imagem de
é
. Se considerarmos o contradomínio como
, a função fica sobrejetora.
Passo 4
Para encontrar a inversa, escrevemos
e isolamos
. Subtraindo 5 de ambos os lados sai
. Como
, tomamos a raiz quadrada positiva e obtemos
.
Passo 5
Assim concluímos que a inversa
é dada por
.
Resposta
A função é invertível e sua inversa é
, com domínio
.