Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
f(x)=raiz9-x^2 ; 0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f:[0,3]toR, definida por f(x)=raiz9-x^2, é invertível e, em caso afirmativo, achar f^-1. O conteúdo aqui é função inversa: vamos precisar checar se f é injetora (monotonicidade) e depois resolver y=f(x) para x.

Passo 2

Para ver se f é injetora, observamos o comportamento de f(x)=raiz9-x^2 em [0,3]. Como x^2 cresce em [0,3], 9-x^2 decresce e, portanto, raiz9-x^2 também decresce. Logo, f é estritamente decrescente em [0,3] e, portanto, injetora, o que garante existência da inversa.

Passo 3

Para achar a inversa, começamos escrevendo y=f(x) e resolvemos para x:
y=raiz9-x^2

Passo 4

Elevando ao quadrado:
y^2=9-x^2

Passo 5

Isolando x^2:
x^2=9-y^2

Passo 6

Como o domínio original impõe x>=0, tomamos a raiz positiva:
x=raiz9-y^2

Passo 7

Isso mostra que f^-1(y)=raiz9-y^2, com domínio de f^-1 igual à imagem de f, que é [0,3].

Resposta

A função é invertível e sua inversa é f^-1(x)=raiz9-x^2 para 0<= x<=3.

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