Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, definida por
, é invertível e, em caso afirmativo, achar
. O conteúdo aqui é função inversa: vamos precisar checar se
é injetora (monotonicidade) e depois resolver
para
.
Passo 2
Para ver se
é injetora, observamos o comportamento de
em
. Como
cresce em
,
decresce e, portanto,
também decresce. Logo,
é estritamente decrescente em
e, portanto, injetora, o que garante existência da inversa.
Passo 3
Para achar a inversa, começamos escrevendo
e resolvemos para
:
Passo 4
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Como o domínio original impõe
, tomamos a raiz positiva:
Passo 7
Isso mostra que
, com domínio de
igual à imagem de
, que é
.
Resposta
A função é invertível e sua inversa é
para
.