Em cada item defina as funções
e determine seus domínios:
e
Passo 1
O enunciado pede para formar as composições de funções f(x)=\sqrt{x-2} e g(x)=x^{2}-2: f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, e em cada caso determinar o domínio. Vamos usar o conceito de composição de funções e a condição de existência de raiz.
Passo 2
Para f\circ g, calculamos f(g(x)) usando f(u)=\sqrt{u-2} com u=g(x)=x^{2}-2: f\circ g(x)=\sqrt{(x{2}-2)-2}=\sqrt{x{2}-4}. Como há raiz quadrada, exigimos x^{2}-4\ge0, isto é x\le-2 ou x\ge2. Logo o domínio é (-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Passo 3
Para g\circ f, fazemos g(f(x)) usando g(u)=u^{2}-2 com u=f(x)=\sqrt{x-2}: g\circ f(x)=(\sqrt{x-2})^{2}-2=(x-2)-2=x-4. Aqui o único cuidado é que f(x) existe só para x\ge2, então o domínio de g\circ f é [2,\infty).
Passo 4
Para f\circ f, aplicamos f em f(x): f(f(x))=\sqrt{f(x)-2}=\sqrt{\sqrt{x-2}-2}. Para a raiz interna existir, precisamos \sqrt{x-2}-2\ge0, ou seja \sqrt{x-2}\ge2 que dá x-2\ge4 e x\ge6. Assim o domínio é [6,\infty).
Passo 5
Para g\circ g, usamos g(g(x))=g(x{2}-2)=(x{2}-2){2}-2=x{4}-4x^{2}+2. Não há restrição, pois polinômios estão definidos para todo x real. O domínio é (-\infty,\infty).
Resposta
As composições e seus domínios são:
•
, domínio ((-
\infty,-2]\cup[2,\infty)).
•
, domínio
.
•
, domínio
.
•
, domínio ((-
\infty,\infty)).