Se f(x)=ln (1-x1+x), verifique que f(a)+f(b)=f(a+b1+a b).

Passo 1

No enunciado, temos a função f(x)=lnl(1-x1+xr). Precisamos mostrar que f(a)+f(b)=fl(a+b1+abr). Para isso, vamos usar a propriedade de logaritmos ln u + ln v = ln(u,v) e manipulações algébricas de frações.

Passo 2

Começando por f(a)+f(b), escrevemos
f(a)+f(b)=lnl(1-a1+ar)+lnl(1-b1+br)
Aplicando ln u+ln v=ln(u,v), obtemos
f(a)+f(b)=ln!l(1-a1+acdot1-b1+br)=ln!l((1-a)(1-b)(1+a)(1+b)r)

Passo 3

Agora calculamos fl(tfraca+b1+abr):
fl(a+b1+abr)=ln!l(1-a+b1+ab1+a+b1+abr)
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
1-a+b1+ab=1+ab-(a+b)1+ab=(1-a)(1-b)1+ab,
1+a+b1+ab=1+ab+(a+b)1+ab=(1+a)(1+b)1+ab

Passo 4

Dividindo numerador e denominador, fica
1-a+b1+ab1+a+b1+ab=(1-a)(1-b)1+ab(1+a)(1+b)1+ab=(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)
Logo
fl(a+b1+abr)=ln!l((1-a)(1-b)(1+a)(1+b)r)

Passo 5

Comparando as expressões de f(a)+f(b) e de fl(a+b1+abr), vemos que ambas são iguais a lnl((1-a)(1-b)(1+a)(1+b)r). Portanto, fica verificado que f(a)+f(b)=fl(a+b1+abr).

Resposta

f(a)+f(b)=fl(tfraca+b1+abr)

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