Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função h, dada por h(x)=x|x|, é invertível (ou seja, bijetora) e, em caso afirmativo, achar h^{-1}. O conteúdo aqui envolve conceito de injetividade, sobrejetividade (ou monotonicidade) e resolução de equação para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro a gente quebra h(x) em dois trechos, já que |x| muda conforme o sinal de x: para x\ge0 vale h(x)=x^2 e para x<0 vale h(x)=-x^2. Em cada trecho calculamos a derivada para ver monotonicidade. Para x>0 temos h’(x)=2x>0, ou seja é estritamente crescente em [0,\infty). Para x<0 temos h’(x)=-2x>0 (porque -2x>0 se x<0), logo é também estritamente crescente em (-\infty,0]. Como h é contínua em x=0 e crescente em toda reta, ela é estritamente crescente em \mathbb{R}, daí injetiva. Além disso, quando x→-\infty, h(x)= -x^2→-\infty, e quando x→+\infty, h(x)=x^2→+\infty, então seu conjunto imagem é \mathbb{R}, logo é sobrejetiva. Concluímos que h é bijetora.
Passo 3
Para achar a inversa h^{-1}, escrevemos y=h(x)=x|x| e resolvemos em função de x. Se y\ge0 então x|x|=x^2=y, daí x=\sqrt{y} (e aqui x\ge0 dá consistência). Se y<0 então x|x|=-x^2=y, daí x^2=-y e, como x<0, x=-\sqrt{-y}. Assim a inversa é dada por um valor único em cada caso.
Passo 4
Portanto, h é invertível e sua inversa h^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} fica definida peça a peça conforme y: