Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=(x^2+y^2) e^-x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente da análise de extremos e pontos de sela em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e depois usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
f(x, y) = (x^2 + y^2)e^-x

Passo 3

Calculando $ f_x $:
Usando a regra do produto:
fx
fx = partialpartial x ( x^2 + y^2 ) e^-x + ( x^2 + y^2 ) partialpartial x e^-x

Passo 4

Calculando $ f_y $:
fy

Passo 5

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo:
fx = 0 e fy = 0
e^-x (2x - x^2 - y^2) = 0 e 2y e^-x = 0
Como $ e^{-x} $ nunca é zero, podemos simplificar:
e^-x

Passo 6

Da segunda equação $ 2y = 0 $, temos $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
2y = 0
Isso nos dá duas soluções:
y = 0

Passo 7

Portanto, os pontos críticos são:
(0, 0) e (2, 0)

Passo 8

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 fyy = partial^2 fpartial y^2 fxy = partial^2 fpartial x partial y

Passo 9

Calculando $ f_{xx} $:
fxx
Calculando $ f_{yy} $:
fxx = partialpartial x ( e^-x (2x - x^2 - y^2) ) = e^-x (2 - 2x) + (-e^-x) (2x - x^2 - y^2) = e^-x (2 - 2x - 2x + x^2 + y^2) = e^-x (2 - 4x + x^2 + y^2)
Calculando $ f_{xy} $:
fyy

Passo 10

O próximo passo é calcular o discriminante $ D $ em cada ponto crítico:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto.

Passo 11

Primeiro, para o ponto $ (0, 0) $:
(0, 0)
fxx(0, 0) = e^0 (2 - 0 + 0 + 0) = 2
fyy(0, 0) = 2 e^0 = 2
fxy(0, 0) = 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.

Passo 12

Agora, para o ponto $ (2, 0) $:
(2, 0)
fxx(2, 0) = e^-2 (2 - 8 + 4 + 0) = e^-2 (-2)
fyy(2, 0) = 2 e^-2
fxy(2, 0) = 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (2, 0) $ é um ponto de sela.

Resposta

A função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $ possui um mínimo local no ponto $ (0, 0) $ e um ponto de sela no ponto $ (2, 0) $.

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