Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente da análise de extremos e pontos de sela em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e depois usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Calculando $ f_x $:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Calculando $ f_y $:
Passo 5
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo:
Como $ e^{-x} $ nunca é zero, podemos simplificar:
Passo 6
Da segunda equação $ 2y = 0 $, temos $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 8
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 9
Calculando $ f_{xx} $:
Calculando $ f_{yy} $:
Calculando $ f_{xy} $:
Passo 10
O próximo passo é calcular o discriminante $ D $ em cada ponto crítico:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto.
Passo 11
Primeiro, para o ponto $ (0, 0) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Passo 12
Agora, para o ponto $ (2, 0) $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (2, 0) $ é um ponto de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = (x^{2} + y{2})e{-x} $ possui um mínimo local no ponto $ (0, 0) $ e um ponto de sela no ponto $ (2, 0) $.