Determine se as funções
são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O conteúdo aqui é verificar se
é transformação linear e, caso positivo, encontrar núcleo e imagem.
Passo 2
Para ser linear,
deve satisfazer
-
, -
para todos , -
para todo .
Calculamos
logo a propriedade de enviar o vetor zero em zero falha. Alternativamente, somando
porém
e
. Então a aditividade também falha.
Passo 3
Como
(e falha a aditividade), concluímos que
não é linear. Logo não faz sentido falar em núcleo, dimensão do núcleo, imagem ou dimensão da imagem de
como aplicação linear.
Resposta
A transformação
não é linear.