Determine se as funções T: R^3 R^3 são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
T(x, y, z)=(x, y, 1)

Passo 1

O enunciado dá a transformação Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x,y,1)
O conteúdo aqui é verificar se T é transformação linear e, caso positivo, encontrar núcleo e imagem.

Passo 2

Para ser linear, T deve satisfazer
  1. T(0,0,0) = (0,0,0),
  2. T(u+v) = T(u) + T(v) para todos u,v,
  3. T(lambda u) = lambda,T(u) para todo lambdainR.
    Calculamos
T(0,0,0) = (0,0,1)neq(0,0,0),
logo a propriedade de enviar o vetor zero em zero falha. Alternativamente, somando
T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2) = (x1,y1,1)+(x2,y2,1) = (x1+x2,;y1+y2,;2),
porém
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (x1+x2,;y1+y2,;1),
e 2neq1. Então a aditividade também falha.

Passo 3

Como T(0,0,0)neq(0,0,0) (e falha a aditividade), concluímos que T não é linear. Logo não faz sentido falar em núcleo, dimensão do núcleo, imagem ou dimensão da imagem de T como aplicação linear.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(x,y,1) não é linear.

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