1. A moto A segue de leste para oeste com a velocidade de 40 km / h, e a moto B segue de norte para sul com a velocidade de 60 km / h. Ambas se aproximando do ponto de encontro I. A que taxa o ângulo B A I está variando quando A está a 300 km de I e B está a 400 km de I ?

Passo 1

O enunciado envolve duas motos aproximando-se do ponto I, uma de leste para oeste (moto A) e outra de norte para sul (moto B). Pedem a taxa de variação do ângulo ang<= BAI em função do tempo. O conteúdo é de taxas relacionadas (derivadas implícitas) aplicadas a um triângulo retângulo dinâmico.

Passo 2

Colocamos I na origem de um sistema cartesiano. A moto A está em (x,0) com x>0 e se aproxima de I, logo
dxdt=-40 km/h
A moto B está em (0,y) com y>0 e se aproxima de I, logo
dydt=-60 km/h
O ângulo em A formado pelos pontos B e I é
theta = arctan!l(tfracyxr)

Passo 3

Diferenciando em relação a t:
dthetadt = 11+(y/x)^2,ddt!l(tfracyxr) = 11+(y/x)^2,x,tfracdydt-y,tfracdxdtx^2 = x,tfracdydt-y,tfracdxdtx^2+y^2

Passo 4

Substituindo x=300, y=400, tfracdxdt=-40, tfracdydt=-60:
dthetadt = 300cdot(-60)-400cdot(-40)300^2+400^2 = -18000+16000250000 = -2000250000 = -0,008 rad/h

Resposta

-0,008 rad/h, isto é, o ângulo ang<= BAI está diminuindo a 0,008 radianos por hora.

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