Dois lados de um triângulo têm comprimentos de 10 m e 15 m. O ângulo entre eles aumenta a uma taxa de 115 rad / min. Com que velocidade a área do triângulo estará aumentando quando o ângulo entre eles for de theta=pi3 rad?

Passo 1

O enunciado dá dois lados de um triângulo com comprimentos 10 m e 15 m, e informa que o ângulo theta entre eles varia a uma taxa tfracdthetadt=tfrac115 rad/min. Pede-se a velocidade de variação da área A quando theta=tfracpi3. Isso envolve taxas relacionadas e derivação da fórmula da área em função de theta.

Passo 2

A área de um triângulo em função de dois lados a,b e do ângulo theta entre eles é
A(theta)=tfrac12,a,b,sintheta
Aqui a=10 e b=15, então
A(theta)=tfrac12cdot10cdot15sintheta=75sintheta

Passo 3

Diferenciando A(theta)=75sintheta em relação ao tempo t, usando a regra da cadeia, resulta
dAdt=75costheta;dthetadt

Passo 4

Substituindo tfracdthetadt=tfrac115 e theta=tfracpi3:
dAdt =75cos!l(tfracpi3r)cdottfrac115 =75cdottfrac12cdottfrac115 =2,5

Resposta

2,5 m^2/min

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