Determine funções f(t), g(t) e h(t) tais que
L(i)(s)=1s(s^2-4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar funções f(t), g(t) e h(t) cuja soma das transformadas de Laplace dê Li(s)=1sl(s^2-4r). O conteúdo envolve usar frações parciais para decompor uma função racional e depois aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo.

Passo 2

Para inverter essa transformada de Laplace, primeiro escrevemos a função racional como uma soma de frações simples. Em bloco fica mais claro:
1sl(s^2-4r)=As+Bs-2+Cs+2

Passo 3

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por s(s^2-4) para eliminar denominadores e formamos uma equação polinomial:
1 = A,(s^2-4) + B,s(s+2) + C,s(s-2)

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de cada potência de s. Expandindo e coletando termos:
1 = (A+B+C)s^2 + (2B-2C)s -4A
Desse modo temos o sistema
A + B + C = 0, 2B - 2C = 0, -4A = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema vem A=-tfrac14, B=tfrac18 e C=tfrac18.

Passo 6

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo usando a tabela:
$$L^{-1}{1/s}=1,\quad L{-1}{1/(s-2)}=e{2t},\quad L{-1}{1/(s+2)}=e{-2t}.
$$
Isso leva a definir L^-11/s=1, L^-11/(s-2)=e^2t, L^-11/(s+2)=e^-2t , f(t)= -tfrac14 e g(t)= tfrac18e^2t.

Resposta

f(t)= -tfrac14, g(t)= tfrac18e^2t, h(t)= tfrac18e^-2t.

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