Determine funções f(t), g(t) e h(t) tais que
L(h)(s)=s(s^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar funções f(t), g(t) e h(t) de forma que
$$
\mathcal{L}{h}(s)=\frac{s}{(s2+4)2}$$
Vamos usar transformadas de Laplace conhecidas e a propriedade de convolução.

Passo 2

Para usar a convolução, escolhemos duas funções cujas transformadas se multiplicam e geram o termo desejado:
Lcos(2t)(s)=ss^2+4, Ltfrac12sin(2t)(s)=1s^2+4
Logo definimos
f(t)=cos(2t), g(t)=tfrac12sin(2t)

Passo 3

Pela propriedade de convolução temos
Lf*g(s)=Lf(s),Lg(s) =ss^2+4cdot1s^2+4 =s(s^2+4)^2
Logo podemos tomar
h(t)=(f*g)(t)=integral0^t f(tau),g(t-tau),dtau

Passo 4

Para calcular a convolução, usamos a identidade trigonométrica e obtemos
(f*g)(t)=12integral0^tcos(2tau),sinl(2(t-tau)r),dtau =t4,sin(2t)
Portanto chegamos a

Passo 5

Como resultado final temos as três funções:

Resposta

f(t)=\cos(2t), g(t)=\tfrac12\sin(2t), h(t)=\frac{t}{4}\sin(2t)

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