Utilize a substituição u=sin (x) para calcular integral cos (x) sin ^2(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral cos(x),sin^2(x),dx usando a substituição u=sin(x). Isso se encaixa no conteúdo de integração por substituição, onde escolhemos u para simplificar a expressão.

Passo 2

Como fizemos u=sin(x), derivamos para obter du. Temos:
du=cos(x),dx
Logo, cos(x),dx = du e também sin^2(x)=u^2. Substituindo na integral original, fica:
integral cos(x),sin^2(x),dx = integral u^2,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^2. Sabendo que integral u^n,du = u^n+1n+1+C, com n=2 obtemos:
integral u^2,du = u^33 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando u=sin(x). Assim, a antiderivada geral é:
sin^3(x)3 + C

Resposta

sin^3(x)3 + C

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