Determine funções f(t), g(t) e h(t) tais que
L(f)(s)=s(s^2+4)(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema onde precisamos encontrar funções $ f(t) $, $ g(t) $ e $ h(t) $ tal que a Transformada de Laplace de $ f(t) $ seja dada por:
f(t)
Então, o que vamos precisar para resolver isso? Vamos utilizar o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente o processo de Transformada Inversa de Laplace e Decomposição em Frações Parciais. Esses conceitos vão nos ajudar a quebrar a expressão complicada em partes mais simples que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que a Transformada de Laplace faz. Ela transforma uma função no tempo $ f(t) $ em uma função no domínio da frequência $ F(s) $. Nosso objetivo aqui é o processo inverso: temos $ F(s) $ e queremos encontrar $ f(t) $.
Para isso, precisamos simplificar a fração que temos. A expressão:
f(t)
é uma fração racional, e para facilitar a transformação inversa, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de frações mais simples que já conhecemos a Transformada Inversa.

Passo 3

Vamos fazer a Decomposição em Frações Parciais. A ideia aqui é expressar:
s(s^2 + 4)(s + 2) = A s + Bs^2 + 4 + Cs + 2
onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar. Essa forma nos permite identificar partes que correspondem a funções conhecidas cujas Transformadas de Laplace Inversas a gente já sabe.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ \left(s^{2} + 4\right)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
A
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
B
C
Agrupando os termos semelhantes:
(s^2 + 4)(s + 2)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ s^{2} $, $ s $ e os termos constantes de ambos os lados:
s = (A s + B)(s + 2) + C(s^2 + 4)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $. Da primeira equação:
A
Substituindo $ C = -A $ na terceira equação:
B
Agora, substituímos $ B = 2A $ na segunda equação:
C
Então:
A + C = 0 Rightarrow C = -A

Passo 6

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
A
Simplificando:
B

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa a cada termo separado. Sabemos que:
L^-1 ( ss^2 + a^2 ) = cos(a t)
L^-1 ( as^2 + a^2 ) = sin(a t)
L^-1 ( 1s + a ) = e^-a t
Comparando com nossos termos:
  • Para $ \frac{s}{s^{2} + 4} $, temos $ a = 2 $.
  • Para $ \frac{1}{s^{2} + 4} $, é semelhante a $ \frac{a}{s^{2} + a^{2}} $ com $ a = 2 $, mas falta o $ a $, então ajustamos.
  • Para $ \frac{1}{s + 2} $, temos $ a = 2 $.

Passo 8

Aplicando as Transformadas Inversas:
f(t) = 14 cos(2 t) + 12 cdot 12 sin(2 t) - 14 e^-2 t
Simplificando:
f(t) = 14 cos(2 t) + 14 sin(2 t) - 14 e^-2 t
Podemos reescrever isso como:
f(t) = 14 ( cos(2 t) + sin(2 t) - e^-2 t )

Resposta

A função desejada é:
f(t) = 14 ( cos(2 t) + sin(2 t) - e^-2 t )

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