Determine funções
e
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema onde precisamos encontrar funções $ f(t) $, $ g(t) $ e $ h(t) $ tal que a Transformada de Laplace de $ f(t) $ seja dada por:
Então, o que vamos precisar para resolver isso? Vamos utilizar o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente o processo de Transformada Inversa de Laplace e Decomposição em Frações Parciais. Esses conceitos vão nos ajudar a quebrar a expressão complicada em partes mais simples que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que a Transformada de Laplace faz. Ela transforma uma função no tempo $ f(t) $ em uma função no domínio da frequência $ F(s) $. Nosso objetivo aqui é o processo inverso: temos $ F(s) $ e queremos encontrar $ f(t) $.
Para isso, precisamos simplificar a fração que temos. A expressão:
é uma fração racional, e para facilitar a transformação inversa, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de frações mais simples que já conhecemos a Transformada Inversa.
Passo 3
Vamos fazer a Decomposição em Frações Parciais. A ideia aqui é expressar:
onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar. Essa forma nos permite identificar partes que correspondem a funções conhecidas cujas Transformadas de Laplace Inversas a gente já sabe.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ \left(s^{2} + 4\right)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ s^{2} $, $ s $ e os termos constantes de ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $. Da primeira equação:
Substituindo $ C = -A $ na terceira equação:
Agora, substituímos $ B = 2A $ na segunda equação:
Então:
Passo 6
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa a cada termo separado. Sabemos que:
Comparando com nossos termos:
- Para $ \frac{s}{s^{2} + 4} $, temos $ a = 2 $.
- Para $ \frac{1}{s^{2} + 4} $, é semelhante a $ \frac{a}{s^{2} + a^{2}} $ com $ a = 2 $, mas falta o $ a $, então ajustamos.
- Para $ \frac{1}{s + 2} $, temos $ a = 2 $.
Passo 8
Aplicando as Transformadas Inversas:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A função desejada é: