A região delimitada pelas funções y=e^x e y=2 e^-x no intervalo [0,1] tem que área?

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas y = e^x e y = 2 e^{−x} no intervalo [0,1]. Isso é um problema de cálculo de área entre curvas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar: encontrar o ponto de interseção das duas curvas, determinar qual delas fica acima em cada subintervalo, e depois montar e calcular as integrais.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto em que e^x = 2 e^{−x}. Igualando:
e^x = 2,e^-x Longrightarrow e^2x = 2 Longrightarrow x = tfrac12ln 2

Passo 3

Chamemos x_0 = \tfrac{1}{2}\ln 2.
Para saber qual curva está acima, avaliamos em x=0: e^0=1 e 2 e^0=2, logo 2 e^{−x} está acima de e^x em [0,x_0], e a partir de x_0 até 1 é o contrário. Assim a área é
$$\int_{0}{x_0}\bigl(2e{-x}-e^x\bigr),dx ;+
;\int_{x_0}{1}\bigl(ex-2e^{-x}\bigr),dx.$$

Passo 4

Agora calculamos cada integral. Para I_1 = ∫(2e{-x}-ex)dx temos antiderivada -2e{-x}-ex. Para I_2 = ∫(ex-2e{-x})dx temos antiderivada ex+2e{-x}.

Passo 5

Avaliando I_1 de 0 a x_0:
$$I_1 = \bigl[-2e{-x}-ex\bigr]_0^{x_0} = \bigl(-2e{-x_0}-e{x_0}\bigr)-\bigl(-2e^0 -e^0\bigr)
= -2\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2 +3 = 3 - 2\sqrt2.$$

Passo 6

Avaliando I_2 de x_0 a 1:
$$I_2 = \bigl[ex+2e{-x}\bigr]_{x_0}^{1} = (e + 2/e) - (\sqrt2 + 2/\sqrt2)
= e + \frac{2}{e} - 2\sqrt2.$$

Passo 7

Somando I_1 + I_2, a área total fica
$$\bigl(3 - 2\sqrt2\bigr) + \bigl(e + \tfrac{2}{e} - 2\sqrt2\bigr)
= e + \frac{2}{e} + 3 - 4\sqrt2.$$

Resposta

A área da região é
e + 2e + 3 - 4raiz2

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